Кратко описана история возникновения дуальных чисел, их определение и использование. Приводится понятие гипер-дуальных чисел как расширение дуальных чисел. Рассматриваются основные операции над гипер-дуальными числами и понятие функции гипер-дуального аргумента. Указывается на применение гипер-дуальных чисел и функций от них для решения некоторых практических задач, требующих многократного точного вычисления значений градиента и гессиана в вычислительных процессах автоматического дифференцирования.

Briefly describes the history of the emergence of dual numbers, their definition and use. The concept of hyper-dual numbers as an extension of dual numbers is given. The basic operations on hyper-dual numbers and the concept of the function of a hyper-dual argument are considered. The use of hyper-dual numbers and functions from them for solving some practical problems that require multiple accurate calculation of the gradient and Hessian values in the computational processes of automatic differentiation is indicated.

In this paper, we consider the use of extended hyper-dual numbers in the numerical integration of the equations of the Cauchy problem using Taylor series expansion and computer-aided differentiation. A new type of numbers is introduced - dual numbers of the third class. The basic operations and basic functions of this class of dual numbers are described. The procedure of sequential pointwise integration using automatic differentiation and dual numbers of the third class is presented. A computer implementation for the SWIFT language of the macOS operating system is given. Numerical experiments based on the obtained software were carried out.

Рассматриваются вопросы, связанные с применением специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел) в методе компьютерного автоматического дифференцирования. Вводятся новые типы дуальных чисел разных классов. Рассматриваются основные операции и базовые функции пространства некоторых классов супер-дуальных чисел. В приложениях 1, 2 и 3 приведена компьютерная реализация компактных дуальных чисел третьего класса для языка SWIFT операционной системы macOS.

The issues related to the use of special dual numbers (super-dual numbers) in the method of computer automatic differentiation are considered. New types of dual numbers of different classes are introduced. The basic operations and basic functions of the space of some classes of super-dual numbers are considered. Appendices 1, 2 and 3 provide computer implementation of compact dual class third numbers for the SWIFT language of the macOS operating system is given.

В данной работе рассматриваются вопросы, связанные с применением специальных чисел (гипер-дуальных чисел) в методе компьютерного автоматического дифференцирования. Вводится новый тип чисел (усечённые гипер-дуальные числа), которые свободны от избыточности, присущей гипер-дуальным числам. Приводятся основные операции и базовые функции пространства усечённых гипер-дуальных чисел. Дана их матричная форма представления, примеры реализации итерационных методов Ньютона и Ньютона-Чебышева на основе усечённых гипер-дуальных функций одной и двух переменных, а также приведено использование усечённых гипер-дуальных функций в процедуре Парето оптимизации. В приложениях 1, 2 и 3 приведена компьютерная реализация усечённых гипер-дуальных чисел для языка SWIFT операционной системы macOS.

This paper discusses issues related to the use of special numbers (hyper-dual numbers) in the method of computer automatic differentiation. A new type of numbers is introduced (truncated hyper-dual numbers), which are free of the redundancy inherent in hyper-dual numbers. Basic operations and basic functions are given. spaces of truncated hyper-dual numbers. Given their matrix representation, examples of implementation Newton and Newton-Chebyshev iterative methods based on truncated hyper-dual functions of one and two variables, and also the use of truncated hyper-dual functions in the Pareto optimization procedure is given. Appendices 1, 2, and 3 provide computer implementation of truncated hyper-dual numbers for the SWIFT language of the macOS operating system.

В данной статье рассматриваются вопросы, связанные с применением специальных чисел (гипер-дуальных чисел) в методе компьютерного автоматического дифференцирования. Вводится новый тип чисел (усечённые гипер-дуальные числа), которые свободны от избыточности, присущей гипер-дуальным числам. Приводятся основные операции и базовые функции пространства усечённых гипер-дуальных чисел. Дана их матричная форма представления, примеры реализации итерационных методов Ньютона, Чебышева, Рафсона и непрерывного аналога метода Ньютона со специальной процедурой ускорения сходимости на основе усечённых гипер-дуальных функций. В приложениях 1, 2 и 3 приведена компьютерная реализация усечённых гипер-дуальных чисел для языка SWIFT операционной системы macOS.

This article discusses issues related to the use of special numbers (hyper-dual numbers) in the method of computer automatic differentiation. A new type of numbers (truncated hyper-dual numbers) are introduced that are free from the redundancy inherent in hyper-dual numbers. The main operations and basic functions of the space of truncated hyper-dual numbers are given. Given their matrix form of presentation, examples of the implementation of iterative methods Newton, Chebyshev, Rafson and the continuous analogue of Newton's method with a special procedure of acceleration of convergence based on truncated hyper-dual functions. Appendices 1, 2 and 3 provide computer implementation truncated hyper-dual numbers for the SWIFT macOS operating system language.

В статье рассматриваются вопросы, связанные с применением специальных чисел (гипер-дуальных чисел) и компьютерного автоматического дифференцирования в кригинг интерполяции. Дается матрично-блочные представления разрешающих уравнений кригинг интерполяции с учетом первых и вторых производных. Вводится новый тип чисел (усечённые гипер-дуальные числа), которые свободны от избыточности (redundancy), присущей гипер-дуальным числам. Приводятся основные операции и базовые функции пространства усечённых гипер-дуальных чисел. Представлена компьютерная реализация Кригинг интерполяции с учетом усечённых гипер-дуальных чисел для языка SWIFT операционной системы macOS.

The article discusses issues related to the use of special numbers (hyper-dual numbers) and computer automatic differentiation in kriging interpolation. The matrix-block representations of the resolving equations of kriging interpolation are given taking into account the first and second derivatives. A new type of numbers (truncated hyper-dual numbers) is introduced, which are free of redundancy inherent in hyper-dual numbers. The basic operations and basic functions of the space of truncated hyper-dual numbers are given. A computer implementation of Kriging interpolation is presented taking into account truncated hyper-dual numbers for the SWIFT language of the macOS operating system.

В данной статье представлен специальный тип чисел (усечённые гипер-дуальные числа). Даны основные алгебраические операции над этими числами. Рассматриваются матрицы и матричные уравнения компонентами которых служат усечённые гипер-дуальные числа. В приложениях 1, 2 и 3 приведена компьютерная реализация усечённых гипер-дуальных чисел и матриц для языка SWIFT операционной системы macOS. В приложении 4 даны результаты расчета чувствительности матричного уравнения с усечёнными гипер-дуальными компонентами.

This article presents a special type of numbers (truncated hyper-dual numbers). The basic algebraic operations on these numbers are given. Matrices and matrix equations are considered whose components are truncated hyper-dual numbers. Appendices 1, 2, and 3 show the computer implementation of truncated hyper-dual numbers and matrices for the SWIFT language of the macOS operating system. Appendix 4 gives the results of calculating the sensitivity of the matrix equation with truncated hyper-dual components.

В данной публикации излагается применение расширенных гипер-дуальных чисел в численной реализации баллистического метода. Для решения промежуточной задачи Коши используется метод разложения в ряды Тейлора и компьютерное автоматическое дифференцирование на основе дуальных чисел третьего класса. Описаны основные операции и базовые функции указанного класса дуальных чисел. Представлена процедура последовательного поточечного интегрирования исходной двухточечной краевой задачи второго порядка с использованием автоматического дифференцирования и дуальных чисел третьего класса. Дана компьютерная реализация для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты на базе полученного программного обеспечения.

This publication describes the use of extended hyper-dual numbers in the numerical implementation of the ballistic method. To solve the intermediate Cauchy problem, the method of expansion into Taylor series and computer automatic differentiation based on dual numbers of the third class are used. The basic operations and basic functions of this class of dual numbers are described. The procedure of sequential pointwise integration of the initial two-point boundary value problem of the second order using automatic differentiation and dual numbers of the third class is presented. A computer implementation for the SWIFT language of the macOS operating system is given. Numerical experiments based on the obtained software were carried out.

В данной публикации рассматривается численный метод решения нелинейной задачи Коши второго порядка, основанный на использовании разложения в ряд Тейлора и автоматического дифференцирования на базе специальных дуальных чисел (усеченных гипер-дуальных чисел). Представлена компьютерная реализация этого метода для языка SWIFT операционной системы macOS на основе которой проведены численные эксперименты.

This publication discusses a numerical method for solving the second-order nonlinear Cauchy problem, based on the use of Taylor series expansion and automatic differentiation based on special dual numbers (truncated hyper-dual numbers). Computer implementation introduced this method for the SWIFT language of the macOS operating system on the basis of which numerical experiments.

В статье рассматривается применение усеченных гипер-дуальных чисел, функций от них и компьютерного автоматического дифференцирования для точного (с машинной точностью) вычисления величин компонент градиента и гессиана функций многих переменных. Дан компьютерный код на языке SWIFT операционной системы macOS реализующий предлагаемый алгоритм.

The article discusses the use of truncated hyper-dual numbers, functions of them and computer automatic differentiation for accurate (with machine precision) calculation of the values of the gradient components and the Hessian of functions of many variables. A computer code is given in the SWIFT language of the macOS operating system that implements the proposed algorithm.

В данной публикации рассматривается численное моделирование эффекта Джанибекова известного также как эффект теннисной ракетки или теорема о промежуточной оси. Основой служат динамические уравнения Эйлера, решение которых осуществляется методом Коши с использованием ряда Тейлора. Для возможности учета различных форм функций внешних вращающих моментов применен метод автоматического дифференцирования, основанный на усеченных гипер-дуальных чисел. Представлена компьютерная реализация описанной модели для языка SWIFT операционной системы macOS на основе которой проведены численные эксперименты.

This publication discusses the numerical modeling of the Dzhanibekov effect, also known as the tennis racket effect or the intermediate axis theorem. The basis is the dynamic Euler equations, the solution of which is carried out by the Cauchy method using the Taylor series. To take into account various forms of functions of external torques, the method of automatic differentiation based on truncated hyper-dual numbers is applied. A computer implementation of the described model for the SWIFT language of the macOS operating system is presented, on the basis of which numerical experiments have been carried out.

В данной публикации рассматривается метод численного интегрирования на основе разложения в ряд Тейлора и автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (усеченных гипер-дуальных чисел). Представлена компьютерная реализация этого метода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This publication discusses a numerical integration method based on the Taylor series expansion and automatic differentiation using special dual numbers (truncated hyper-dual numbers). The computer implementation of this method for the SWIFT language operating macOS systems. Numerical experiments have been carried out.

В данной публикации рассматривается метод численного интегрирования на основе разложения в ряд Тейлора и автоматического дифференцирования с использованием классических дуальных чисел. Представлена компьютерная реализация этого метода для языка SWIFT операционной системы macOS.

This publication discusses a numerical integration method based on Taylor series expansion and automatic differentiation using classical dual numbers. A computer implementation of this method is presented for macOS SWIFT language.

Рассматривается метод численного определения коэффициентов Фурье на основе автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (усеченных гипер-дуальных чисел). Представлена компьютерная реализация этого метода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

A method for the numerical determination of Fourier coefficients based on automatic differentiation using special dual numbers (truncated hyper-dual numbers) is considered. A computer implementation of this method for the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments have been carried out.

Показано применение принципа перенесения в теории дуальных и усеченных гипер-дуальных чисел для решения дифференциальных уравнений с малыми параметрами до второго порядка включительно. Приводятся примеры решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с малыми параметрами, соответствующей движению гармонического осцилятора.

The application of the transfer principle in the theory of dual and truncated hyper-dual numbers is shown for solving differential equations with small parameters up to the second order inclusive. Examples of solving the Cauchy problem for a second-order linear differential equation with small parameters corresponding to the motion of a harmonic oscillator are given.

В данной публикации рассматривается применение метода численного интегрирования на основе разложения в ряд Тейлора и автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (усеченных гипер-дуальных чисел) для вычисления длины дуги и площади поверхности вращения. Представлена компьютерная реализация этого метода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This publication discusses the application of the numerical integration method based on the Taylor series expansion and automatic differentiation using special dual numbers (truncated hyper-dual numbers) to calculate the length of the arc and the area of the surface of revolution. A computer implementation of this method for the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments have been carried out.

В публикации рассматривается применение метода автоматического дифференцирования, основанного на усеченных гипер-дуальных чисел, для определения основных характеристик локальных свойств кривых и их производных. Представлена компьютерная реализация описанного подхода для языка SWIFT операционной системы macOS и на основе которой проведены численные эксперименты.

The publication considers the application of the method of automatic differentiation based on truncated hyper-dual numbers to determine the main characteristics of the local properties of curves and their derivatives. A computer implementation of the described approach for the SWIFT language of the macOS operating system is presented and on the basis of which numerical experiments were carried out.

В данной работе рассматривается метод реализации итерационных формул Чебышева-Хэлли, основанный на автоматическом дифференцировании с использованием специальных двойственных чисел (усеченных гипердвойственных чисел). Представлена компьютерная реализация этого подхода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This paper considers a method for implementing iterative Chebyshev-Halley formulas based on automatic differentiation using special dual numbers (truncated hyper-dual numbers). A computer implementation of this approach for the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments have been carried out.

В данной публикации рассматривается метод реализации итерационных формул Чебышева на основе автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса). Представлена компьютерная реализация этого подхода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

TThis publication discusses a method for implementing Chebyshev’s iterative formulas based on automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers 3rd grade). A computer implementation of this approach for the SWIFT operating language is presented. macOS systems. Numerical experiments were carried out.

В данной публикации рассматривается метод реализации итерационных формул Чебышева-Хэлли пятого порядка сходимости на основе автоматического дифференцирования с использованием усеченных гипер-дуальных чисел. Представлена компьютерная реализация этого подхода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This publication discusses a method for implementing iterative Chebyshev-Halley formulas of 5th order of convergence based on automatic differentiation using truncated hyper-dual numbers. A computer implementation of this approach for the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments were carried out.

Рассматривается метод численной многомерной оптимизации, основанный на итерационных формулах Гаусса-Зейделя, Чебышева-Хелли, и автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса). Представлена компьютерная реализация этого подхода на языке SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты. Показана возможность сведения задачи нахождения корней системы нелинейных уравнений к поиску экстремума соответствующего функционала.

We consider a method of numerical multidimensional optimization based on iterative formulas of Gauss-Seidel, Chebyshev-Helly, and automatic differentiation with using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class). Presented computer implementation of this approach in the SWIFT language of the macOS operating system. Conducted numerical experiments. The possibility of reducing the problem of finding the roots of a system of nonlinear equations for finding the extremum of the corresponding functional.

В данной публикации рассматривается метод численной многомерной оптимизации, основанный на итерационных формулах Гаусса-Зейделя, Чебышева-Хелли, и автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса). Представлена компьютерная реализация этого подхода на языке SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты. Показана возможность сведения задачи нахождения корней системы нелинейных уравнений к поиску экстремума соответствующего функционала.

This publication discusses a method of numerical multidimensional optimization based on iterative formulas of Gauss-Seidel, Chebyshev-Helly, and automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class). A computer implementation of this approach in the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments were carried out. The possibility of reducing the problem of finding the roots of a system of nonlinear equations to searching for the extremum of the corresponding functional is shown.

В данной публикации рассматривается метод решения параметрических уравнений на основе итерационных формул Чебышева-Хэлли и автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса). Представлена компьютерная реализация этого подхода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This publication discusses a method for solving parametric equations based on Chebyshev-Halley iterative formulas and automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class). A computer implementation of this approach for the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments were carried out.

В данной публикации рассматривается расчет баллистической кривой, основанный на итерационных формулах Чебышева-Хэлли, золотого сечения и автоматического дифференцирования со специальными дуальными числами (супер-дуальными чиселами 3-го класса). Представлена компьютерная реализация этого подхода для языка SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This publication discusses the calculation of the ballistic curve based on iterative Chebyshev-Helly's formulas, the golden section and automatic differentiation with special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class). Computer implementation presented this approach for the SWIFT language of the macOS operating system. Numerical experiments were carried out.

В данной публикации рассматривается метод численного решения неявных функций, основанный на итерационных формулах Гаусса-Зейделя, Чебышева и автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса). Представлена компьютерная реализация этого подхода на языке SWIFT операционной системы macOS. Проведены численные эксперименты.

This publication discusses a method for numerically solving implicit functions based on the iterative formulas of Gauss-Seidel, Chebyshev and automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class). A computer implementation of this approach in the SWIFT language of the macOS operating system is presented. Numerical experiments are conducted.

В данной публикации рассматривается пилотный проект интерактивного (online) калькулятора, позволяющего вычисление значений функции и её первых трех производных при заданной величине аргумента. Решение строится на основе автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса) и парсинга строкового математического выражения.

This publication discusses a pilot project of an interactive (online) calculator that allows calculating the values of a function and its first three derivatives for a given argument value. The solution is based on automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class) and parsing a string mathematical expression.

В данной публикации рассматривается пилотный проект интерактивного (online) калькулятора, позволяющего вычисление значения локального корня функции и её первых трех производных. Решение строится на основе автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса), итерационной процедуры Чебышева четвертого орядка и парсинга строкового математического выражения.

This publication discusses a pilot project of an interactive (online) calculator that allows calculating the value of a local root of a function and its first three derivatives. The solution is based on automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class), the fourthorder Chebyshev iteration procedure, and parsing of a string mathematical expression.

В данной публикации рассматривается пилотный проект интерактивного (online) калькулятора, позволяющего вычисление значения локального корня невной функции и её первых трех частных и полных производных. Решение строится на основе автоматического дифференцирования с использованием специальных дуальных чисел (супер-дуальных чисел 3-го класса), итерационной процедуры Чебышева четвертого порядка и парсинга строкового математического выражения..

This publication discusses a pilot project of an interactive (online) calculator that allows calculating the value of a local root of a variable implicit function and its first three partial and total derivatives. The solution is based on automatic differentiation using special dual numbers (super-dual numbers of the 3rd class), the fourth-order Chebyshev iteration procedure, and parsing of a string mathematical expression.