VIO Solutions ® 
October 24, 2020

INTRODUCTION

Некоторое время назад я был вовлечен в обсуждение докторской диссертации Дж. А. Фике «Многоцелевая оптимизация с использованием гипер-дуальных чисел» (J. A. Fike. Multi-Objective Optimization Using Hyper-Dual Numbers. Ph.D. Dissertation, Stanford University, 2013) и последующих публикаций, связанных с ней. Одним из ключевых моментов в этой работе было применение гипер-дуальных чисел в процедуре автоматического дифференцирования. Последнее позволяло (при компьютерной реализации) получать значения исследуемой функции, ее первой и второй производных с машинной точностью. Условно говоря, гипер-дуальная функция представлялась как некий объект со свойствами, включающими в себя: значения функции и ее производных, вычисленных по точным аналитическим формулам. При попытке реализовать этот подход в своих целях, я столкнулся с некоторой избыточностью самого гипер-дуального числа (функции): значение первой производной повторялось дважды, что приводило к увеличению памяти для хранения самого гипер-дуального числа (функции). Более того, в случае расширения понятия гипер-дуального числа (учет производных более высокого порядка) указанная избыточность будет возрастать. Это обстоятельство побудило меня к созданию усеченных гипер-дуальных чисел (функций), которые свободны от дублирования значений производных. Также возникла необходимость в построении гипер-дуальных чисел с различной степенью расширения, получивших названия супер-дуальные числа и функций от них. Этот новый тип данных был использован в ряде вычислительных задач, требующих многократного вычисления значений исследуемой функции и ее производных различных порядков.
В последнее время наметилось повышение интереса к вопросам, связанным с дуальными числами. Однако в большинстве случаев эти исследования связаны с теорией чисел, а практическое применение относится к простейшим итеррационным процедурам. Более того, в русско-язычных источниках гипер-дуальные числа практически не имеют освещения. Поэтому в целях компенсировать этот пробел мной было принято решение обнародовать мои некоторые частные исследования, связанные с применением гипер-дуальных и супер-дуальных чисел в вычислительных процессах (см. перечень материалов).
При использовании и цитировании представленных материалов просьба соблюдать авторские права, принадлежащие VIO Solutions Inc.

Some time ago I was involved in a discussion of a doctoral dissertation J. A. Fike, “Multi-Objective Optimization Using Hyper-Dual Numbers. Ph.D. Dissertation, Stanford University, 2013) and subsequent publications related thereto. One of the key points in this work was the use of hyper-dual numbers in the procedure of automatic differentiation. The latter made it possible (with computer implementation) to obtain the values of the studied function, its first and second derivatives with machine accuracy. Relatively speaking, a hyper-dual function was presented as an object with properties that include: the values of the function and its derivatives calculated by exact analytical formulas. When trying to implement this approach for their own purposes, I came across some redundancy of the hyper-dual number (function) itself: the value of the first derivative was repeated twice, which led to an increase in memory for storing the hyper-dual number (function). Moreover, if the concept of a hyper-dual number is expanded (taking into account derivatives of a higher order), the indicated redundancy will increase. This circumstance prompted me to create truncated hyper-dual numbers (functions) that are free from duplication of the values of derivatives. There was also a need to build hyper-dual numbers with varying degrees of expansion, called super-dual numbers and their functions. This new type of data has been used in a number of computational tasks that require multiple calculations of the values of the function being studied and its derivatives are of different orders.
There has recently been a growing interest in dual-numbers issues. However, in most cases, these studies are related to the theory of numbers, and practical application refers to the simplest iterration procedures. Moreover, in Russian-speaking sources hyper-dual numbers have little or no lighting. Therefore, in order to fill this gap, I have decided to make public my some private research related to application of hyper-dual and super-dual numbers in computational processes (see submitted materials).
When using and quoting submitted materials, please respect the copyrights of VIO Solutions Inc.



Vladimir Olifer
Design and development by VIO Solutions Inc.